可能性的艺术：数学家与政治家有何关联？

数学经常被誉为科学皇冠上的明珠，而政治学如今则更多被视为一门社会科学，不过众所周知，在遥远的古希腊，柏拉图等哲学家们常常用数学和政治探求类似的目的。而在数学家蔡天新看来，这两者之间有一个本质的相通点——它们都是一种“可能性的艺术”，数学探索和政治实践都有着极大的不确定性，从事这两项工作的人都需要兼具理性、勇气、直觉甚至运气。

而在真实的历史中，数学家与政治家的交往更是常态，比如著名的数学家、哲学家笛卡尔教瑞典女王克里斯蒂娜数学的故事就脍炙人口。更有很多政治家本身就很擅长数学，美国开国总统华盛顿曾担任测量员，托马斯·杰弗逊更是在讲授高等数学方面做了不少工作。或许，数学代表的秩序也深深吸引着政治家。

不过，蔡天新也对数学家和政治家之间的界限有着深刻的警觉。尽管像微积分之父蒙日这样的数学家非常积极地卷入政治，但他们在数学上的清明却未必能等同于他们对政治局势的判断。

《数学传奇》（上下），作者: 蔡天新，版本: 商务印书馆 2022年11月

历史上的数学家，如何赢得政治家的信任和友谊？

数学家向来不问政治或远离政治，他们不像艺术家那样惹是生非，这一点晚年的波德莱尔似有所悟，这位惯于在贵妇人的客厅里寻觅灵感的法国诗人被后世尊为“现代主义文学之父”，却终其一生过着波西米亚式的放浪生活，他的晚年颇为凄凉。在其身后出版的散文诗集《巴黎的忧郁》里，波德莱尔引用了 17 世纪同胞数学家、思想家帕斯卡尔的话：“几乎所有灾难的发生都是由于我们没有老老实实地待在自己的屋子里。”大概正因为这个原因，数学家较艺术家容易赢得政治家的信任和友谊。

欧几里得是古希腊几何学的集大成者，他的出生地和确切的生活年代至今仍是个谜。我们只知道他曾在雅典的柏拉图学园求学，后来被埃及国王托勒密延聘到亚历山大，主持亚历山大大学数学系，那里有一座藏书量惊人的图书馆，欧氏因此得以完成著名的《几何原本》。这部著作是现代科学得以产生的一个主要因素，作为演绎推理结构方面的杰出典范，它甚至给思想家们带来启示。据说托勒密曾向欧几里得询问学习几何学的捷径，他的回答是：“在几何学中没有王者之路。”而当有位学生问起学习几何学能得到什么回报时，欧几里得命令奴隶给他一个便士，并对身边的人说：“因为他总要从学习中得到好处。”

在欧几里得去世前几年出生的阿基米德是古代世界最伟大的数学家和科学家，他年轻时也曾在亚历山大大学逗留过，与欧氏的弟子们过从甚密。据说阿基米德返回故乡叙拉古（又译锡拉库萨）以后，很受希罗王的器重，有一个流传广泛的故事，希罗王得到一顶金王冠，他怕这个王冠里掺了白银，便求教于阿基米德。阿基米德有一天沐浴时发明了著名的浮体定律，并解决了希罗王提出的问题。阿基米德得到了两代国王的尊重，最后他为国捐躯了。

1世纪的古罗马皇帝克劳迪乌斯在位时政绩显赫，他率先把罗马的统治扩大到了北非，并御驾亲征渡过英吉利海峡，使不列颠成为一个行省。除了军事才能以外，他对历史也颇有研究，曾用希腊文写成大部头的历史著作。更为有趣的是，这位皇帝还写过一本题为《如何在掷骰子中获胜？》的小册子，探讨了概率问题。原来，他和那些悠闲的大臣们爱好博弈，迷恋于掷骰子的游戏，可惜这本书没有保存下来。

法国邮票上的热尔贝

直到 1654 年，帕斯卡尔和费尔马在通信中奠定概率论的基础，他们的出发点依然是掷骰子这样的赌博游戏。在中世纪的黑暗时代，数学家的处境相对来说也不算太糟，教皇西尔维斯特二世非常喜欢数学，有证据表明他把包括零在内的阿拉伯数字引入欧洲，据说他还做过算盘、地球仪和时钟。在教皇亲自撰写的著作《几何学》中，他解决了一个当时非常困难的问题：已知一个直角三角形的斜边和面积，求出两条直角边。西尔维斯特二世的本名叫热尔贝，和克劳迪乌斯一样出生在法国中部，年轻时旅居西班牙，在一座修道院里学习“四艺”，那里由于受阿拉伯人统治而有较高的数学水平。后来他来到罗马，因其数学才能出色，被教皇引荐给皇帝，受到赏识，遂被聘请给太子当导师。以后的几任皇帝也十分器重他，直到任命他做了教皇。

中世纪欧洲最杰出的数学家是斐波那契，人们习惯称他为“比萨的莱昂纳多”，而把文艺复兴时期的画家达·芬奇称作“佛罗伦萨的莱昂纳多”，他提出的“兔子问题”至今仍是“数学的不朽谜语”。斐波那契的才能引起了西西里王弗雷德里希二世的注意，他被邀请到宫廷，由国王的亲信向他提出三个数学难题，斐波那契一一予以圆满的解答，后来这位国王和他的继承人成了斐波那契的保护人。有意思的是，八百年后的今天，在美国南达科他州的不毛之地，仍有一家叫《斐波那契》的数学杂志专门刊载研究有关“兔子问题”的论文，还有一个颇具规模的“斐波那契协会”，每年在世界各地轮流举行年会。

在东方，比斐波那契稍晚的中国数学家秦九韶在杭州曾受宋理宗赵昀的召见。据说他在皇帝面前阐述自己的见解，并呈奏稿和代表作《数书九章》，书中包含了闻名中外的中国剩余定理。而在北京，长寿的李冶虽三度受到元世祖忽必烈的召见，却主要是因为后者初来乍到，需要笼络知识分子。事实上，这位“占领者”看重的并非李冶的数学才华，而是他“经为通儒，文为名家”的声望。倒是在阿拉伯世界和波斯，有多位君主对数学颇为重视，与数学家的关系也较密切。例如，9 世纪阿拔斯王朝的哈里发麦蒙，他下令在首都巴格达建造了智慧宫，那是集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，是继亚历山大图书馆以后世界上最重要的学术机构。代数学的施洗人花拉子密被聘请主持智慧宫的工作，据说早在麦蒙登基以前，花拉子密就在一次游学过程中与之相识了。

王子出身的学者兀鲁伯

在阿拉伯人占领的波斯，不仅有出类拔萃的数学家，而且几乎每一位都得到了君王的庇护和赞助。比如，11 世纪的海亚姆和塞尔柱苏丹马克沙利，后者把海亚姆邀请到首都伊斯法罕，主持兴建天文台并进行历法改革工作，海亚姆在那里度过了一生的大部分时光，直到苏丹去世，他们的故事被好莱坞拍成了电影。

又如，13 世纪的纳西尔丁和伊儿汗旭兀烈，15世纪的卡西和帖木儿国王子兀鲁伯。其中，卡西最为幸运，因为这位王子还是一位出色的学者，并在他之后去世。卡西在王子建造的天文台上把圆周率精确到小数点后 17 位，从而打破了祖冲之保持了九百多年的纪录。兀鲁伯曾这样写道：“卡西是一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一。他通晓古代科学，并推动其发展，他能解决最困难的问题。”

在数学史上留名的政治家们

在近代欧洲历史上也有一些开明君主和当时的数学家有密切的交往。17 世纪，瑞典女王克丽斯蒂娜邀请法国数学家兼哲学家笛卡尔达一年之久，以至于最后派出一艘军舰前往他客居的荷兰迎接。一向深居简出、体质羸弱的笛卡尔显得非常犹豫，最后一刻，他才被女王的热情和诚意打动。

事实证明他的担心并非多余，斯德哥尔摩寒冷的天气让他得了肺炎，四个月后即不治身亡。1933 年，由有着“冰美人”之称的瑞典女星格丽泰·嘉宝主演的好莱坞电影《瑞典女王》上映，再现了这则真实的故事。18 世纪，瑞士数学家欧拉曾两度受聘于圣彼得堡研究院，先后长达 31 年，此前欧拉的老师、著名的数学世家—贝努利家族的两位成员也在那里工作过。

欧拉是历史上最多产的数学家之一，他的两只眼睛都是在旅居俄国期间失明的，虽说欧拉 20 岁即离开故乡，可是瑞士法郎的纸币上仍印有他的肖像。在欧拉接受弗雷德里克大帝聘请到柏林主持普鲁士研究院的 25 年间，彼得堡方面照付薪水。可以说，欧拉与这两国的多位国王和女皇均有交往。当欧拉再度前往彼得堡时，弗雷德里克又向定居法国的意大利数学家拉格朗日发出了热情洋溢的邀请，“欧洲最伟大的国王”希望“欧洲最伟大的数学家”在他的王宫里。

显而易见，这位国王对于欧拉的离任耿耿于怀。在欧洲所有的君王中，拿破仑与数学家的关系最为密切，他几乎与同时代的每一位杰出的法国数学家都交上了朋友。曾经远征埃及的拿破仑对拉格朗日总的评价是：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”他曾开玩笑地问拉普拉斯：“为什么你的著作中没有提到上帝？”数学家回答：“我用不着那样的假设。”可是，拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）和另外一个 L—勒让德（Legendre）都避开了业余的几何学家。

拿破仑

拿破仑本人还是个不错的几何学家，他提出过这样一个问题：只用圆规，如何把一个圆周四等分？这个问题后来由他的朋友、另一位定居法国的意大利数学家马斯凯罗尼解决了。在 1812 年拿破仑军队从莫斯科退却时被捕的数十万战俘中，唯一受益的是一位年仅 24 岁的数学家，他的名字叫彭赛列。当时他身边什么书也没有，就开始在战俘营里构思巨著《论图形的射影性质》，他被释放回国后，于 1822 年在巴黎出版了此书，这部著作开创了射影几何史上所谓的“辉煌时期”。但拿破仑的确伤害过一位伟大数学家的心，这就是“数学王子”高斯。高斯是个数学神童，出生在普通的劳动者家庭，他的早慧受到了故乡不伦瑞克公爵斐迪南的关心，后者成为他的赞助人和亲密朋友，比起莫扎特的赞助人远为慷慨且始终如一，他在高斯 29 岁那年死于拿破仑军队的入侵。费迪南的名字虽然在战争史上没有被记载，却在数学史上流芳。

在大西洋另一头的美利坚合众国，也有几位总统和数学颇多联系：乔治·华盛顿是一位著名的测量员，托马斯·杰弗逊在鼓励讲授高等数学方面做了不少工作，阿伯拉罕·林肯则被认为是通过研究欧几里得的《几何原本》来学习逻辑的倡导者。最有创造性的是詹姆斯·加菲尔德，这位美国第 20 任总统虽然政绩平平，并且在任上惨遭暗杀，但他在学生时代就显示出对数学的浓厚兴趣与卓越才能。1876 年，加菲尔德独立发现了毕达哥拉斯定理的一个非常简洁的证明，他是在国会与议员们讨论数学问题时想出来的。这个证明通过用两种不同的方式计算梯形的面积（先用梯形的面积公式，然后把梯形分解成三个直角三角形来计算），经过比较和化简得到。与四百年前达·芬奇的证明相比，加菲尔德的方法要漂亮许多，不知是否因为这个原因，他的青铜雕像得以安置在华盛顿的国会山前，我曾在大理石的台阶四周徘徊，没有发现其他人物与他分享这份殊荣。

现在让我们回过头来谈谈牛顿。牛顿在数学领域的主要成就是发明了微积分，但人们往往把万有引力定律和其他力学定律也计算在内，因为它们都用数学公式表达。因此数学史家把牛顿和阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的三个数学家，加上物理学和天文学方面的卓越贡献，他很早就代表大学进入议会，后来又被安妮女王授予爵位，成为第一个获此殊荣的科学家。可是牛顿对政治兴趣不大，他在议会唯一的发言记录是要求打开窗子。牛顿晚年沉湎于神学，虽然如此，他还是被提升为权力很大的造币厂厂长并尽心尽职。

土地测量员出身的华盛顿

与牛顿不一样，出生在莱比锡的莱布尼茨年轻时就喜欢结交王公贵族，那时候的德国还没有统一，科学技术和军事力量比较落后，随时有可能被邻居法兰西那样的强国吞并。1672 年，处于危难之中的美因茨选帝候派遣能说会道的莱布尼茨去巴黎，唯一的使命是：用一项征服埃及的诱人计划去分散路易十四对北方的注意力。结果莱布尼茨不仅没有见到法兰西国王，反而留在巴黎研究起了数学，并成了微积分的两个发明人之一，由此引发的一场有关优先权的争论，使得拉芒什（英吉利）海峡对岸英国的数学停滞了一个世纪。

数学家与政治家的异同

可是，喜欢参与和从事政治活动的数学家并非没有。古希腊第一个伟大的数学家毕达哥拉斯和他的门徒就热衷于此道，他们在亚平宁半岛南端的克罗托内结社，并与贵族党派联盟，因而被民主党派赶走。

牛顿爵士吧（作者摄于剑桥）

毕达哥拉斯逃到附近的米太旁登（Metapontum），公元前 497 年被害于该处。至于阿基米德被入侵叙拉古的罗马士兵用枪刺死，并不是因为他和希罗王亲近，而是误杀。据说很多年以后，罗马政治家、作家西塞罗来到西西里岛，没有人肯告诉他阿基米德墓地的位置，这位以演说见长的大人物只好自己拨开荆棘寻找。

在法国大革命期间，微分几何之父蒙日积极追随拿破仑，直到拿破仑称帝，他因此也曾受到人们的耻笑。他和三角级数的发明人傅里叶都曾随拿破仑远征埃及，回来后蒙日做了政府部长，而傅里叶只当上县长。蒙日的学生拉扎尔·卡诺也是热情洋溢的革命家，同时还是一位出色的军事家，被誉为“胜利的组织者”，他和他的老师都对处死路易十六投了赞成票。但卡诺是有勇气反对拿破仑称帝的唯一的护民官，为此他不得不逃往日内瓦，最后在贫寒交迫中死于异乡。

由于过度卷入政治，学术成为卡诺的业余爱好，不过，他的后代分头做这两件事。卡诺的一个儿子做了教育部长，另一个是杰出的物理学家、热力学的创始人；他的一个孙子当上法国总统，另一个成为著名的化学家。相比之下，有着“法兰西的牛顿”美称的拉普拉斯更为幸运，也更多才。拉普拉斯比卡诺早 4 年出生，却晚 4 年辞世。他本是诺曼底一个农民的儿子，靠着自己的才华和善于应变的能力，步步高升，深受国王路易十六重用。法国大革命时，由于要他为炮兵计算炮弹的轨迹，而获得了特赦。之后，随着拿破仑的上台，作为从前数学老师的拉普拉斯又很快在政治上红了起来。他担任法国经度局局长，还做过6个星期的内政部长，被拿破仑的弟弟替换后，又被任命为上议院议长。王朝复辟以后，他又效忠于路易十八，被封侯爵。

拉普拉斯车站（作者摄于巴黎）

政治家虽然在任时声名显赫，但卸职或死后也容易被人们遗忘，英国学者威斯特福尔在为牛顿的名著《自然哲学的数学原理》出版三百周年撰写的纪念文章中意味深长地谈道：“我们从不纪念某某文官的三百周年诞辰。”对于英国和大多数国家来讲，这个说法可能是成立的，但历史上也出现过几位伟大的君王，如亚历山大大帝、奥古斯都、成吉思汗、阿育王。而有些数学家之所以具有广泛持久的魅力，原因在于数学本身。

5世纪的拜占庭学者普罗克洛斯被认为是最后一位主要的希腊哲学家，晚年一直担任雅典柏拉图学园的园长，他认为：数学是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂；她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。

7 世纪的印度天文学家兼数学家婆罗摩笈多曾以诗的语言和形式阐述印度天文学体系，他也说过：正如太阳以其光芒使众星失色，学者也以其提出的代数问题而使满座高朋逊色，若能给予解答，则将使侪辈更为相形见绌。

在我看来，随着用途越来越广泛，数学已成为现代人的一个不错的职业，尤其在美国。此外，在纷繁的现实世界里，数学也是一座坚固的精神堡垒，可以让你的头脑避免崩溃。从某种意义上讲，数学和政治一样都是可能性的艺术，从事这两项工作的人都需要冒险和勇气，他们面对复杂的问题都需要依赖直觉和运气。另一方面，数学和政治也都有自身的局限，一个伟大的数学家和一个伟大的政治家在他们各自领域之外的经验和智慧都是有限的，他们对非数学和非政治的忠告的价值也是有限的，这种局限性迫使他们与大众有了距离。尽管如此，数学家和政治家都有着他们自己独特的精神世界和生活方式。

倘若要谈论伟大，帕斯卡尔在《思想录》里划分出几种不同的类型：其一是身体上、物质上的伟大，这方面伟大的代表是各种光彩显赫的事物，如太空、星辰、国王、富人、首领，这是眼睛所能看见的；其二是精神的、理智的伟大，这方面伟大的代表是那些天才人物，例如阿基米德、牛顿、高斯。他们有着他们的领域、他们的显赫、他们的胜利、他们的辉煌，他们不是用眼睛而是用精神才能被人看到。帕斯卡尔进一步指出：“一切伟大事物的光辉显赫，对于从事精神探讨的人来说，都是毫无光彩可言的。”

原作者/蔡天新

摘编/刘亚光

编辑/张婷

导语校对/柳宝庆