拉格朗日导数和欧拉导数的区别

在流体力学中，我们关心的是流体随时间的演化。这可以有很多不同的含义。我们是跟随一个流体微团看它如何变化？还是在空间中固定一个点，观察流体流过它？这就需要我们有多种类型的导数来帮助我们。

两种类型的导数分别以使用它们的数学家命名：莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）。让我们看一个例子，说明这两种导数的不同，然后讨论它们在数学上的关系。

为了说明这两种导数的区别，我将用一条道路上的汽车交通作为例子。

这里我们有一组随时间移动的汽车。当我们向下移动图像时，我们看到三个不同时间步长下道路上的汽车。方框显示了欧拉导数跟踪的内容。对我来说，欧拉导数更直观，我们是跟踪空间中的同一点随时间的变化。我们记录在一个特定点上“流体”的变化。在这里显示的三个时间步长中，汽车的颜色发生了变化。

在数学上，欧拉导数表示如下

其中 f 是某个物理量，比如密度、压强或温度。

现在，让我们来看另一种类型的导数。

这组移动的汽车与上面的完全相同。现在，我们有了一个不同的焦点。我们不再固定在一个点上，而是跟随一个流体微团。在这种情况下，“微团”是红色的汽车。这给了我们一个关于流体长期发展的不同视角。

我们用以下符号表示拉格朗日导数

你也可能听到这被称为物质导数（Material Derivative），如果你点击链接，你可以看到这还有很多其他名称。符号也可能因文献而异，所以要确保你知道每个导数代表什么，以避免混淆。

现在，我们有了两种不同的导数来研究流体。这两种概念在研究流体时都经常使用，所以能够在它们之间转换是很重要的。为了做到这一点，我们要定义一个叫做平流（advection）的术语。

平流有两种不同的表示方式

或者

其中 u 是流体微团沿着的速度矢量，∇ 是一个叫做纳布拉（nabla）的符号，用来简化右边的表达式。但是平流到底是什么意思呢？我们可以把它理解为由于流入的流体而导致的某个物理量（比如温度）的变化。如果海洋中的一个点有冷水流入，那么它会因为平流而变冷。

这是最后一个关键，让我们能够把欧拉导数和拉格朗日导数联系起来，如下所示

这个公式告诉我们，如果我们想要知道一个流体微团的某个物理量随时间的变化率，我们可以用两种方法得到：一种是用欧拉导数，在空间中固定一个点，观察该点上物理量随时间的变化；另一种是用拉格朗日导数，跟随一个流体微团，观察它的物理量随时间的变化。这两种方法应该给出相同的结果，因为它们都描述了同一个现象。

在这篇文章中，我们介绍了两种类型的导数：欧拉导数和拉格朗日导数。它们分别对应于在空间中固定一个点或跟随一个流体微团来观察流体随时间的演化。我们还介绍了平流这个概念，它描述了由于流入的流体而导致的某个物理量的变化。最后，我们给出了一个公式，把欧拉导数和拉格朗日导数联系起来。这个公式在流体力学中非常有用，因为它让我们可以从不同的角度分析同一个问题。